綜合算式應(yīng)該先算什么

在混合運(yùn)算中，關(guān)于運(yùn)算次序有兩個(gè)基本法則：有括號(hào)，先計(jì)算括號(hào)中的算式；沒(méi)有括號(hào)，先計(jì)算乘除后計(jì)算加減。比如，用下面的兩個(gè)例子來(lái)表示：

(3 + 2) × 4 = 5 × 4 = 20；

3 + 2 × 4 = 3 + 8 = 11。

顯然，這兩個(gè)基本法則是一種規(guī)定?？墒?，為什么要有這樣的規(guī)定呢？這樣的規(guī)定合理嗎？如果這樣的規(guī)定是合理的，那么合理性表現(xiàn)在哪里呢？為了述說(shuō)這個(gè)合理性，就必須回到現(xiàn)實(shí)世界，因?yàn)槲覀円呀?jīng)反復(fù)說(shuō)過(guò)，小學(xué)階段數(shù)學(xué)的一切概念和法則都是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來(lái)的。

第一個(gè)算式是什么意思呢？思考下面的具有實(shí)際背景的問(wèn)題：

操場(chǎng)上有4排同學(xué)，每排有3名女同學(xué)2名男同學(xué)，問(wèn)操場(chǎng)上有多少名同學(xué)？

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，如果分步計(jì)算，顯然應(yīng)當(dāng)先計(jì)算每排有多少同學(xué)，然后再計(jì)算4排一共有多少同學(xué)。因此，計(jì)算的道理是：

同學(xué)總數(shù) = 每行同學(xué)數(shù) × 行數(shù)

= (3 + 2) × 4

可以看到，上面括號(hào)中表達(dá)的是一個(gè)故事：每行的同學(xué)數(shù)。這個(gè)故事是整體算式中的一個(gè)獨(dú)立部分，因此，先算括號(hào)中的算式是有道理的?？墒?，這個(gè)例子是具體的、因而是特殊的，這個(gè)特例所蘊(yùn)含的運(yùn)算次序的一般道理是什么呢？我們接下來(lái)分析第二個(gè)算式，然后歸納出一般道理。

如果把乘法理解為加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，第二個(gè)算式可以表示為 3 + 2 × 4 = 3 + 4 + 4 = 3 + 8 = 11。用這樣的方法來(lái)解釋先乘除后加減是可以的，但是，這樣的解釋僅僅關(guān)注了計(jì)算方法，因此，這樣的解釋與上面的例子就沒(méi)有共同點(diǎn)了，就無(wú)法抽象出共性了。為了把問(wèn)題分析清楚，我們還是思考一個(gè)具有實(shí)際背景的問(wèn)題：

操場(chǎng)上原來(lái)有3名同學(xué)，又來(lái)了一隊(duì)同學(xué)，這隊(duì)同學(xué)每排有2名同學(xué)，共有4排，問(wèn)現(xiàn)在操場(chǎng)上有多少名同學(xué)？

顯然，這個(gè)問(wèn)題中包含了兩個(gè)故事：一是原來(lái)的同學(xué)數(shù)，二是后來(lái)的同學(xué)數(shù)。類(lèi)似第一個(gè)算式，可以寫(xiě)出計(jì)算這個(gè)問(wèn)題的道理：

同學(xué)總數(shù) = 原來(lái)的同學(xué)數(shù) + 后來(lái)的同學(xué)數(shù)

= 3 + 2 × 4。

因此，先計(jì)算乘法是為了完成一個(gè)故事：后來(lái)的同學(xué)數(shù)?，F(xiàn)在問(wèn)題已經(jīng)很清楚了：所有混合運(yùn)算都是在講述兩個(gè)、或者兩個(gè)以上的故事。在混合運(yùn)算中，可能是大故事包含小故事，也可能是幾個(gè)故事并列。在原本的意義上，這些故事應(yīng)當(dāng)分別計(jì)算，即先計(jì)算每一個(gè)具體的故事然后再計(jì)算整體的故事，這樣，為了保證混合運(yùn)算的計(jì)算結(jié)果與分別計(jì)算的結(jié)果保持一致，就必須建立起前面提到的那兩個(gè)基本法則