發(fā)布時間: 2025年01月04日 09:02
在數(shù)學(xué)史上，圓周率π的精確度，始終引起人們極大的關(guān)注，并成為衡量一個國家數(shù)學(xué)發(fā)展水平的標(biāo)志．縱觀π的計算史，其計算方法大致可分為：幾何法、解析法、實驗法、電子計算機(jī)計算法．
一、幾何法 在公元前240年左右，阿基米德在他的《圓的度量》一書中首先采用”窮竭法”求π的值．“窮竭法”即用圓的內(nèi)接和外切正多邊形周長逼近圓周長．他作出了正96邊形，并由此得到π的值為
術(shù)”即用圓的內(nèi)接正多邊形的面積逼近圓的面積．他算到了正192邊形
祖沖之在劉徽工作的基礎(chǔ)上，求出圓內(nèi)接正12288邊形和正24576邊形的面積，得到
3.1415926＜π＜3.1415927．
祖沖之的π值紀(jì)錄，保持了將近一千年．直到公元1427年中亞數(shù)學(xué)家阿爾·卡西計算了圓內(nèi)接和外切正3×228邊形的周長后，得到π值的17位小數(shù)．公元1610年，德國人魯?shù)婪蚧ㄙM了畢生精力，計算了正262邊形的周長后，得到π的35 位小數(shù)值．魯?shù)婪虻墓ぷ鳎砻髁藥缀畏ㄇ螃械姆椒鹤叩奖M頭．1630年格林貝格(Grien berger)用幾何法計算π至 39位小數(shù)．這是幾何法的最后嘗試，也是幾何法的最高紀(jì)錄．
二、解析法 圓周率計算上的第一次突破，是以手求π的解析表達(dá)式開始的．著名法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)(1540—1603)做出了開創(chuàng)性的工作．在《數(shù)學(xué)定律，應(yīng)用于三角形》一書中，得到了
他計算出3.1415926535＜π＜3.1415926537．顯然他的π精確度不是當(dāng)時世界領(lǐng)先水平，但利用一個無窮級數(shù)去刻劃π值卻開創(chuàng)了一個嶄新的方向．
1671年，英國圣安德魯大學(xué)教學(xué)教授格雷戈里(1638—1675)提出了著名的級數(shù)：
但他并未注意到，當(dāng)x=1時，這一級數(shù)為：
格雷戈里的工作具有普遍性，成為解析法求π值的基礎(chǔ)．在后來的二百多年里，許多人利用這一公式稍作修改并進(jìn)行大量計算．不斷刷新π值的世界紀(jì)錄，1706年，英國的梅欽(1680—1751)利用格氏級數(shù)及其
破π的百位大關(guān)．繼此之后，利用反正切展開式計算π的公式相繼出現(xiàn)，π的位數(shù)也直線上升．1948年1月，英國的弗格森(D．F．Fergnson)與美國的倫奇(J．W．Wrench)用解析法得到π的 808位準(zhǔn)確值，創(chuàng)造了甲級數(shù)方法的最高紀(jì)錄，結(jié)束了用級數(shù)方法計算π值的階段．這也是手工計算π的最高紀(jì)錄，此后再沒有人用手算與他們較量了．
三、實驗法 1777年法國自然科學(xué)家蒲豐(1707—1788)出版了《能辨是非的算術(shù)實驗》一書，提出了著名的“蒲豐實驗”：在畫有一組距離為a的平行線的平面上，隨意投下長度為l(l＜a)的針．若投
1901年意大利數(shù)學(xué)家拉茲瑞尼用蒲豐的方法，僅投針3408次就輕松地得到π=3.1415929．這與π的精確值相比，一直到小數(shù)點后第七位才出現(xiàn)不同．
盡管這一方法遠(yuǎn)不如解析法便捷，且π的精確度也大為遜色．但它揭示了分析方法與概率方法之間的聯(lián)系，向人們暗示了數(shù)學(xué)本質(zhì)的某種統(tǒng)一性，促使人們深入探討π的種種性質(zhì)．開辟了π研究的新方向．
四、電子計算機(jī)計算法
自從第一臺電子計算機(jī)ENIAC在美國問世之后，立刻取代了繁雜的π值的人工計算，使π的精確度出現(xiàn)了突飛猛進(jìn)的飛躍．1949年，美國人賴脫威遜利用ENIAC計算機(jī)花了70個小時把π算到2034位，一下子就突破了千位大關(guān)，1955年，一臺快速計算機(jī)竟在33個小時內(nèi)。把π算到10017位，首次突破萬位，1996年東京大學(xué)的一組數(shù)學(xué)家曾花了36個小時，在計算機(jī)上算出了π的32.3億位小數(shù)．但是將前紀(jì)錄保待了4年之久的美國數(shù)學(xué)家丘德諾夫斯基兄弟采用了新方法又獲得了超過40億位數(shù)的π．現(xiàn)在人們利用電子計算機(jī)將π算到了小數(shù)點后42.9億多．如果把這一串?dāng)?shù)字打印出來，每厘米打印六個數(shù)字，那么整個數(shù)字的長度接近7200千米．比從德國柏林到美國芝加哥的距離還長．
不過電子計算機(jī)只是工具，它仍需用解析法的公式，可算是解析法的延伸和發(fā)展．其實這時π的計算變成了算法的精巧構(gòu)思和機(jī)器速度的較量．除了顯示電子計算機(jī)威力和檢驗機(jī)器效果之外，π的位數(shù)已無任何現(xiàn)實價值．
從π的計算可以看出，計算方法的每一次創(chuàng)新，都帶來π的位數(shù)的巨大突破，但每一種方法都有上限：幾何法因人們測量誤差而不可能超過百位；解析法又因計算量聚增而局限于千位之內(nèi)；實驗法的指導(dǎo)意義大于它的實用價值；電子計算機(jī)同樣受機(jī)器速度的影響，而不可能無限制地算出π值．
溫馨提示：
