為什么有的冪函數(shù)沒有奇偶性

所謂的冪函數(shù)就是形如y=x^a，其中x是變量，a是常數(shù)的函數(shù)。

所有的冪函數(shù)均過定點(1,1)。

證明：將x=1代入y=x^a中，無論a為何值時y均為1，所以所有的冪函數(shù)均過定點(1,1)。

例如：y=x,y=x^2,y=x^3,y=x^(1/2)等都過定點(1,1)。

冪函數(shù)的奇偶性

⑴當冪函數(shù)的冪指數(shù)a是奇數(shù)時，冪指數(shù)y=x^a是奇函數(shù)。

證明：設f(x)=x^a，x∈R

f(-x)=(-x)^a，因為a是奇數(shù)，所以(-x)^a=-x^a

所以f(-x)=-f(x)，所以冪函數(shù)y=x^a此時是奇函數(shù)。

⑵當冪函數(shù)的冪指數(shù)a是偶數(shù)時，冪函數(shù)y=x^a為偶函數(shù)。

證明：依然設f(x)=x^a，x∈R

f(-x)=(-x)^a，因為a是偶數(shù)，所以(-x)^a=x^a

所以f(-x)=f(x)，所以冪指數(shù)y=x^a此時是偶函數(shù)。

⑶當冪函數(shù)的冪指數(shù)a是分數(shù)且分母是奇數(shù)時，冪函數(shù)y=x^a是奇函數(shù)。

同理可證：設f(x)=x^a，x∈R

f(-x)=(-x)^a，因為a分母是奇數(shù)，所以(-x)^a=-x^a

所以f(-x)=-f(x)，所以冪函數(shù)y=x^a在a是分數(shù)且分母是奇數(shù)時是奇函數(shù)。

⑷當冪函數(shù)的冪指數(shù)a是分數(shù)且分母是偶數(shù)時，冪函數(shù)y=x^a是非奇非偶函數(shù)。

當冪指數(shù)為分數(shù)且分母是偶數(shù)時說明該冪指數(shù)要開偶次方根，所以x取值范圍是(0,＋∞)，所以此時的冪函數(shù)的定義域并不關于原點對稱，即冪函數(shù)y=x^a此時是非奇非偶函數(shù)。

冪函數(shù)的增減性

㈠冪函數(shù)的定義域在(0,+∞)上時，冪函數(shù)的增減性。

⑴當冪指數(shù)a>0時，冪函數(shù)y=x^a是增函數(shù)。

①當x∈(0,1)時，設0