復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的公式

復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式如下：含義：設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域為Du，值域為Mu，函數(shù)u=g(x)的定義域為Dx，值域為Mx，如果 Mx∩Du≠0，那么對于Mx∩Du內(nèi)的任意一個x經(jīng)過u;有唯一確定的v值與之對應(yīng)，則變量x與y之間通過變量u形成的一種函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。

論證說明：f(x)在點x0可導(dǎo)的充要條件是在x0的某鄰域U(x0)內(nèi)，存在一個在點x0連續(xù)的函數(shù)H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)從而f'(x0)=H(x0)。證明：設(shè)f(x)在x0可導(dǎo)，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心鄰域);H(x)=f'(x0),x=x0。因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)。所以H(x)在點x0連續(xù)，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)。反之，設(shè)存在H(x),x∈U(x0),它在點x0連續(xù)，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)。因存在極限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)。所以f(x)在點x0可導(dǎo)，且f'(x0)=H(x0)。引理證畢。延伸論證說明：設(shè)u=φ(x)在點u0可導(dǎo)，y=f(u)在點u0=φ(x0)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)F(x)=f(φ(x))在x0可導(dǎo)，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)。證明：由f(u)在u0可導(dǎo)，由引理必要性，存在一個在點u0連續(xù)的函數(shù)H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)。又由u=φ(x)在x0可導(dǎo)，同理存在一個在點x0連續(xù)函數(shù)G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)。于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)。因為φ，G在x0連續(xù)，H在u0=φ(x0)連續(xù)，因此H(φ(x))G(x)在x0連續(xù)，再由引理的充分性可知F(x)在x0可導(dǎo)，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)。