平面向量的數(shù)量積教學(xué)設(shè)計(jì)(精編7篇）

平面向量的數(shù)量積教學(xué)設(shè)計(jì)（1）

教學(xué)目標(biāo)：

(i)知識(shí)目標(biāo)：

(1)掌握平面向量數(shù)量積的概念、幾何意義、性質(zhì)、運(yùn)算律及坐標(biāo)表示.

(2) 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.

(ii)能力目標(biāo)：

(1) 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用平面向量積解決相關(guān)問(wèn)題的能力.

(2) 正確運(yùn)用向量運(yùn)算律進(jìn)行推理、運(yùn)算.

教學(xué)重點(diǎn)： 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.

用數(shù)量積求夾角、距離及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.

教學(xué)難點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用.

?教學(xué)過(guò)程：

一、知識(shí)梳理

平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量 與 ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|

平面向量的數(shù)量積教學(xué)設(shè)計(jì)（2）

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

① 交換律： ( = ( ② 數(shù)乘結(jié)合律：( )( = ( ( ) = (( )

③ 分配律：( + )( = ( + (

平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

①已知兩個(gè)向量 ， ，則 .

②設(shè) ，則 .

③平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 如果表示向量 的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

、 ，那么 .

④向量垂直的判定 兩個(gè)非零向量 ， ，則 .

⑤兩向量夾角的余弦 cos( = ( ).

二、典型例題

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

例題1 已知下列命題：

① ; ② ; ③ ; ④

其中正確命題序號(hào)是 ②、④ .

點(diǎn)評(píng)： 掌握平面向量數(shù)量積的含義，平面數(shù)量積的運(yùn)算律不同于實(shí)數(shù)的運(yùn)算律.

例題2 已知 ; (2) ;(3) 的夾角為 ，分別求 .

解(1)當(dāng) 時(shí)， = 或 = .

(2)當(dāng) 時(shí)， = .

(3)當(dāng) 的夾角為 時(shí)， = .

變式訓(xùn)練：已知 ，求

解： =

點(diǎn)評(píng)： 熟練應(yīng)用平面向量數(shù)量積的定義式求值，注意兩個(gè)向量夾角的確定及分類完整.

夾角問(wèn)題

例題3 若 ，且 ，則向量 與向量 的夾角為 ( )

解：依題意 故選C

變式訓(xùn)練1：① 已知 ，求向量 與向量 的夾角.

② 已知 ， 夾角為 ，則 .

解： ① ，故夾角為 .

②依題意得 .

變式訓(xùn)練2：已知 是兩個(gè)非零向量，同時(shí)滿足 ，求 的夾角.

法一 解：將 兩邊平方得 ，

則 ， 故 的夾角.為 .

法二： 數(shù)形結(jié)合

點(diǎn)評(píng)：注意兩個(gè)向量夾角共起點(diǎn)，靈活應(yīng)用兩個(gè)向量夾角的兩種求法.

向量模的問(wèn)題

例題4 已知向量 滿足 ，且 的夾角為 ，求 .

解： ，且 的夾角為;

變式訓(xùn)練 ：

①(20XX年湖北)已知向量 ，若 不超過(guò)5，則 的取值范圍 ( )

②(20XX年福建) 已知 的夾角為 ， ， ，則 等于( )

A 5 4 3 1

解： ① ， 故選C

② ， ，解得 ，故選B

點(diǎn)評(píng)：涉及向量模的問(wèn)題一般利用 ，注意兩邊平方是常用的方法.

平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用

例題5 已知向量 .

若 ; (2)求 的最大值 .

解：(1)若 ，則 ， .

(2) = =

， 的最大值為 .

例題6已知向量 ，且 滿足 ，

求證 ; (2)將 與 的數(shù)量積表示為關(guān)于 的函數(shù) ;

(3)求函數(shù) 的最小值及取得最小值時(shí)向量 與向量 的夾角 .

解：(1)，?

? ? ? ?故

(2) ，

故 .

平面向量的數(shù)量積教學(xué)設(shè)計(jì)（3）

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

① 交換律： ( = ( ② 數(shù)乘結(jié)合律：( )( = ( ( ) = (( )

③ 分配律：( + )( = ( + (

平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

①已知兩個(gè)向量 ， ，則 .

②設(shè) ，則 .

③平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 如果表示向量 的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

、 ，那么 .

④向量垂直的判定 兩個(gè)非零向量 ， ，則 .

⑤兩向量夾角的余弦 cos( = ( ).

二、典型例題

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

例題1 已知下列命題：

① ; ② ; ③ ; ④

其中正確命題序號(hào)是 ②、④ .

點(diǎn)評(píng)： 掌握平面向量數(shù)量積的含義，平面數(shù)量積的運(yùn)算律不同于實(shí)數(shù)的運(yùn)算律.

例題2 已知 ; (2) ;(3) 的夾角為 ，分別求 .

解(1)當(dāng) 時(shí)， = 或 = .

(2)當(dāng) 時(shí)， = .

(3)當(dāng) 的夾角為 時(shí)， = .

變式訓(xùn)練：已知 ，求

解： =

點(diǎn)評(píng)： 熟練應(yīng)用平面向量數(shù)量積的定義式求值，注意兩個(gè)向量夾角的確定及分類完整.

夾角問(wèn)題

例題3 (20XX年北京)若 ，且 ，則向量 與向量 的夾角為 ( )

平面向量的數(shù)量積教學(xué)設(shè)計(jì)（4）

教學(xué)目標(biāo)：

(i)知識(shí)目標(biāo)：

(1)掌握平面向量數(shù)量積的概念、幾何意義、性質(zhì)、運(yùn)算律及坐標(biāo)表示.

(2) 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.

(ii)能力目標(biāo)：

(1) 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用平面向量積解決相關(guān)問(wèn)題的能力.

(2) 正確運(yùn)用向量運(yùn)算律進(jìn)行推理、運(yùn)算.

教學(xué)重點(diǎn)： 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.

用數(shù)量積求夾角、距離及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.

教學(xué)難點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用.

?教學(xué)過(guò)程：

一、知識(shí)梳理

平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量 與 ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|

平面向量的數(shù)量積教學(xué)設(shè)計(jì)（5）

向量數(shù)量積的物理背景與定義

教材說(shuō)明

平面向量數(shù)量積具有代數(shù)與幾何的雙重性質(zhì)，因此所涉及的內(nèi)容較為廣泛，如方程、不等式等代數(shù)問(wèn)題;夾角、距離、面積、平行、垂直等幾何問(wèn)題。

平面向量數(shù)量積是數(shù)學(xué)中知識(shí)與能力的載體，是數(shù)學(xué)上的一個(gè)重要工具之一，值得一提的是在教材的后續(xù)兩章的學(xué)習(xí)中，對(duì)三角函數(shù)內(nèi)容中某些問(wèn)題的處理都是借助向量的數(shù)量積來(lái)解決的，這正體現(xiàn)了平面向量數(shù)量積的工具性，在解決代數(shù)與幾何問(wèn)題中都有著很強(qiáng)的實(shí)用性。

課型 新授課

課時(shí) 1課時(shí)(練習(xí) 共2課時(shí))

學(xué)情分析

在學(xué)平面向量數(shù)量積之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了平面向量的概念、向量的線性運(yùn)算及向量的基本定理與坐標(biāo)表示等有關(guān)內(nèi)容，這為過(guò)渡到本節(jié)的學(xué)習(xí)起了鋪墊作用;在后繼知識(shí)的學(xué)習(xí)中，是據(jù)此內(nèi)容用向量代數(shù)方法進(jìn)一步研究了平面圖形的有關(guān)性質(zhì)。

本節(jié)以力對(duì)物體做功作為背景，研究平面向量的數(shù)量積。但是，學(xué)生作為初學(xué)者不清楚向量數(shù)量積是數(shù)量還是向量，尋找兩向量的夾角又容易想當(dāng)然，以及對(duì)運(yùn)算律的理解和平面向量的數(shù)量積的靈活應(yīng)用。通過(guò)情景創(chuàng)設(shè)、探究和思考引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知、理解并掌握相關(guān)的內(nèi)容。利用向量數(shù)量積運(yùn)算討論一些幾何元素的位置關(guān)系、距離和角，這些刻畫幾何元素(點(diǎn)、線、面)之間度量關(guān)系的基本量學(xué)生容易混淆。利用數(shù)量積運(yùn)算來(lái)反映向量的長(zhǎng)度和兩個(gè)向量間夾角的關(guān)系解決問(wèn)題，是學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)又是難點(diǎn)。由向量的線性運(yùn)算遷移、引申到向量的乘法運(yùn)算這是個(gè)很自然的過(guò)渡，深入淺出、符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也有利于明確本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望。

教學(xué)內(nèi)容分析

教學(xué)的主要內(nèi)容：以物體受力做功為背景引入數(shù)量積的概念，使向量數(shù)量積運(yùn)算與物理知識(shí)聯(lián)系起來(lái);向量數(shù)量積與向量的長(zhǎng)度及夾角的關(guān)系;進(jìn)一步探究?jī)蓚€(gè)向量的夾角對(duì)數(shù)量積符號(hào)的影響及有關(guān)的性質(zhì)、幾何意義和運(yùn)算律。

教材的編寫的特點(diǎn)：本節(jié)內(nèi)容安排在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)必修4》(B版)第二章、第3節(jié)第1課時(shí)。它是平面向量的核心內(nèi)容，向量的平行、垂直關(guān)系是向量間最基本、最重要的位置關(guān)系，而向量的夾角、距離又是向量的重要數(shù)量特征，向量的數(shù)量積恰好是解決問(wèn)題的一個(gè)重要工具。?

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：

(1)理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義;

(2)掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;

(3)能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系.

過(guò)程與方法：

通過(guò)向量的線性運(yùn)算及多項(xiàng)式乘法運(yùn)算的對(duì)照，強(qiáng)化學(xué)生的類比思想

情感態(tài)度與價(jià)值觀：

通過(guò)數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律的靈活應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生從特殊到一般的認(rèn)知能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積的概念和性質(zhì);用平面向量數(shù)量積表示向量的模及向量的夾角;平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律的探究及應(yīng)用.

難點(diǎn)：難點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積的定義及對(duì)運(yùn)算律的探究、理解;平面向量數(shù)量積的靈活應(yīng)用。

教學(xué)策略選擇與設(shè)計(jì)

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生樂(lè)于參與到探索性和創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)活動(dòng)中來(lái)，這是新課程數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求。《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》還明確提出了提高學(xué)生的知識(shí)與技能、重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程與方法，培養(yǎng)學(xué)生的情感態(tài)度、價(jià)值觀的三維目標(biāo)。為此，結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)中注重過(guò)程、方法，注重引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)去看書，不斷提出問(wèn)題，研究問(wèn)題，并解決問(wèn)題。重視在師生，生生互動(dòng)、交流的過(guò)程中滲透情感態(tài)度與價(jià)值觀。

教學(xué)資源與手段

資源：三角板，彩粉筆，電腦，多媒體。

手段：通過(guò)師生互動(dòng)，共同探討生成新知，更加有助于學(xué)生探究能力的培養(yǎng)。

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)過(guò)程 師生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖

情景引入 1、給出有關(guān)材料并提出問(wèn)題

問(wèn)題1： 表示一個(gè)么角?

SHAPE MERGEFORMAT

(1)如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，那么力F所做的功： 。

(2)這個(gè)公式有什么特點(diǎn)?請(qǐng)完成下列填空：

①W(功)是 量，②F(力)是 量，

③S(位移)是 量，④ 是 。

(3)你能用文字語(yǔ)言表述“功的計(jì)算公式”嗎?答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積

提問(wèn)

學(xué)生易答：表示力 的方向與位移 的方向的夾角

創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的問(wèn)題情景，將學(xué)生自然的帶入到課堂的教學(xué)內(nèi)容中來(lái)。

探究問(wèn)題

形成定義

(1)探究?jī)蓚€(gè)向量的夾角的定義。

問(wèn)題2：你能指出下列圖中兩向量的夾角嗎?

問(wèn)題3：對(duì)于兩個(gè)非零向量 ，你能給出它們夾角的定義嗎?

問(wèn)題4：思考向量夾角的范圍

問(wèn)題5： 表示什么?

SHAPE MERGEFORMAT

(2)探究向量 在 方向上的投影

問(wèn)題6：對(duì)于兩個(gè)非零向量 ，向量 在向量 方向上的投影為什么?你能從圖中作出 在 方向上的投影嗎?

(3)探究 與 的數(shù)量積.

問(wèn)題7：F(力)是 量， S(位移)是 量，W(功)是 量

定義：

叫做 與 的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作： .

即： = 。(板書三)

問(wèn)題8：向量數(shù)量積的運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同?

若 是非零向量，設(shè)夾角為θ，完成下表：

夾角θ的范圍的符號(hào)

問(wèn)題9：根據(jù)投影的概念，數(shù)量積 =

的幾何意義如何? (板書四)

問(wèn)題10：請(qǐng)同學(xué)們用一句話來(lái)概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)：功是力與位移的數(shù)量積

(板書五)

①②③學(xué)生容易得到，④學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)兩種答案，教師給予指導(dǎo)

學(xué)生思考回答，教師予以補(bǔ)充，關(guān)鍵是點(diǎn)出兩向量起點(diǎn)相同，并給出夾角符號(hào)

有了問(wèn)題2的鋪墊，學(xué)生容易得出0 ，

教師強(qiáng)調(diào)同向時(shí)為0，反向時(shí)為π.

教師補(bǔ)充：

(1)當(dāng)

= 時(shí)，向量 與向量 互相垂直，記作 .

(2)在討論垂直問(wèn)題時(shí)規(guī)定：零向量與任一向量垂直.

生答：力F在位移方向上的分量

師補(bǔ)充：我們把 稱為力F在位移S方向上的投影

師生共作向量 在 方向上的投影圖象。

對(duì)上述物理意義下的“功”概念進(jìn)行抽象，將公式中的力與位移推廣到一般向量 與 。

怎么來(lái)規(guī)定

平面向量的數(shù)量積教學(xué)設(shè)計(jì)（6）

平面向量的數(shù)量積教案

考綱要求：掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直問(wèn)題，掌握向量垂直的條件.

高考預(yù)測(cè)：(1)客觀題---- 考查數(shù)量積的定義、性質(zhì)及運(yùn)算律，難度較低.

(2)主觀題---以平面向量的數(shù)量積為工具，考查其綜合應(yīng)用，多與函數(shù)、三角函數(shù)、不等式聯(lián)系，難度中等.

教學(xué)目標(biāo)：

(i)知識(shí)目標(biāo)：

(1)掌握平面向量數(shù)量積的概念、幾何意義、性質(zhì)、運(yùn)算律及坐標(biāo)表示.

(2) 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.

(ii)能力目標(biāo)：

(1) 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用平面向量積解決相關(guān)問(wèn)題的能力.

(2) 正確運(yùn)用向量運(yùn)算律進(jìn)行推理、運(yùn)算.

教學(xué)重點(diǎn)： 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.

用數(shù)量積求夾角、距離及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.

教學(xué)難點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用.

教 具：多媒體.

教材教法分析：

本節(jié)課是高三第一輪平面向量數(shù)量積復(fù)習(xí)課，重點(diǎn)掌握平面向量數(shù)量積及幾何意義.用數(shù)量積求夾角、距離及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.滲透化歸思想以及數(shù)形結(jié)合思想.

?教學(xué)過(guò)程：

一、追溯

(修改：這部分屬知識(shí)點(diǎn)回顧，既然是高三復(fù)習(xí)課，可把相關(guān)知識(shí)點(diǎn)以填空的形式展示出來(lái)。一方面可要求不主動(dòng)學(xué)習(xí)的學(xué)生完成必要的任務(wù)，另一方面也把知識(shí)的重點(diǎn)部分展現(xiàn)在所有學(xué)生面前。)

平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量 與 ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|

平面向量的數(shù)量積教學(xué)設(shè)計(jì)（7）

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

① 交換律： ( = ( ② 數(shù)乘結(jié)合律：( )( = ( ( ) = (( )

③ 分配律：( + )( = ( + (

平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

①已知兩個(gè)向量 ， ，則 .

②設(shè) ，則 .

③平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 如果表示向量 的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

、 ，那么 .

④向量垂直的判定 兩個(gè)非零向量 ， ，則 .

⑤兩向量夾角的余弦 cos( = ( ).

二、典型例題

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

例題1 已知下列命題：

① ; ② ; ③ ; ④

其中正確命題序號(hào)是 ②、④ .

點(diǎn)評(píng)： 掌握平面向量數(shù)量積的含義，平面數(shù)量積的運(yùn)算律不同于實(shí)數(shù)的運(yùn)算律.

例題2 已知 ; (2) ;(3) 的夾角為 ，分別求 .

解(1)當(dāng) 時(shí)， = 或 = .

(2)當(dāng) 時(shí)， = .

(3)當(dāng) 的夾角為 時(shí)， = .

變式訓(xùn)練：已知 ，求

解： =

點(diǎn)評(píng)： 熟練應(yīng)用平面向量數(shù)量積的定義式求值，注意兩個(gè)向量夾角的確定及分類完整.

夾角問(wèn)題

例題3 (20XX年北京)若 ，且 ，則向量 與向量 的夾角為 ( )

【微語(yǔ)】要做正確的、該做的事，而不是能夠贏得別人贊賞的事。