2024考前高數(shù)沖刺：中值定理問題

對于2021考研的考生來說，現(xiàn)在已經(jīng)進(jìn)入沖刺復(fù)習(xí)階段，作為數(shù)學(xué)科目中比較重要的高等數(shù)學(xué)，大家一定不要忽視，這段時間更要把握住機(jī)會，小編為大家整理高等數(shù)學(xué)相關(guān)沖刺知識點(diǎn)來讓大家加以練習(xí)，希望對大家有所幫助！

中值定理主要指的是費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、格西定理、泰勒中值定理這五個，這四個定理之間的聯(lián)系和區(qū)別要弄清楚，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況。除泰勒定理外的三個定理都要求已知函數(shù)在某個閉區(qū)間上連續(xù)，對應(yīng)開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。柯西中值定理涉及到兩個函數(shù)，在分母上的那個函數(shù)的一階導(dǎo)在定義域上要求不為零，柯西中值定理還有一個重要應(yīng)用––洛必達(dá)法則，在求極限時會經(jīng)常用到。而且同學(xué)們需要掌握的不單單是這五個中值定理，而且關(guān)于他們本身的證明也是需要重點(diǎn)掌握的，尤其是費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、格西定理的證明過程，這個過程在教科書上都有證明的過程，同學(xué)們需要自己把這個都完全能夠掌握，不僅僅是因?yàn)樵?9年的考查過這個的證明，而是這幾個的證明思想是之后類似題目證明反復(fù)使用的。而閉區(qū)間上的連續(xù)定理主要是指的最值定理、介值定理、零點(diǎn)存在定理。

一般來講閉區(qū)間上連續(xù)的定理是直接用的，也就是用來直接證明一些類似與存在一點(diǎn)在某個區(qū)間內(nèi)使得某個函數(shù)是等于零的。而中值定理的應(yīng)用一般是需要通過構(gòu)造函數(shù)的，一般來講都是三步走，第一步去構(gòu)造函數(shù)，合理的去構(gòu)造函數(shù)是能夠做出這個證明題目關(guān)鍵的一步，而構(gòu)造函數(shù)的方法一般是通過對要求的那個等式積分得到，同時也要注意兩遍同時乘以一個函數(shù)，比如同時乘以ex，因?yàn)檫@個函數(shù)積分是不變的，所以會有這個。構(gòu)造完成后就是第二步去檢驗(yàn)條件，看是用那個定理，一般來講，如果是求一階的導(dǎo)數(shù)等于0優(yōu)先想到的就是羅爾定理，如果是讓你求高階的一個式子等于零或者等于某個式子，那么優(yōu)先想到的就是泰勒公式了，因?yàn)樯厦娴奈鍌€中值定理中，只有泰勒公式是會涉及到高階的，其他的幾個都是一階，如果知道的是一階，最多也是求解二階的。第三步就是求導(dǎo)驗(yàn)證自己求出來的是否是要求證明的結(jié)果。