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2023考研線性代數(shù)知識框架梳理(三)

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發(fā)布時間: 2023-01-28 20:55:03

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為了求向量組的秩,我們來考慮矩陣。矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩,行向量組的秩稱為行秩。

對階梯形矩陣進行考察,發(fā)現(xiàn)階梯形矩陣的行秩等于列秩,并且都等于階梯形的非零行的數(shù)目,并且主元所在的列構成列向量組的一個極大線性無關組。

矩陣的初等行變換不會改變矩陣的行秩,也不會改變矩陣的列秩。

任取一個矩陣A,過初等行變換將其化成階梯形J,則有:A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩,即對任意一個矩陣來說,其行秩和列秩相等,我們統(tǒng)稱為矩陣的秩。

過初等行變換化矩陣為階梯形,即是一種求矩陣列向量組的極大線性無關組的方法。

考慮到A的行秩和A的轉置的列秩的等同性,則初等列變換也不會改變矩陣的秩。總而言之,初等變換不會改變矩陣的秩。因此如果只需要求矩陣A的秩,而不需要求A的列向量組的極大無關組時,可以對A既作初等行變換,又作初等列變換,這會給計算帶來方便。

矩陣的秩,同時又可定義為不為零的子式的高階數(shù)。

滿秩矩陣的行列式不等于零。非滿秩矩陣的行列式必為零。

既然矩陣的秩和矩陣的列秩相同,則可以把線性方程組有解的充分必要條件更加簡單的表達如下:系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩。另外,有唯一解和有無窮多解的條件也可從秩的角度給出回答:系數(shù)矩陣的秩r等于未知量數(shù)目n,有唯一解,r<N,有無窮多解。<N,有無窮多解。< style="FONT-FAMILY: 'Microsoft Yahei'" p="">

齊次線性方程組的解的結構問題,可以用基礎解系來表示。當齊次線性方程組有非零解時,基礎解系所含向量個數(shù)等于n-r,用基礎解系表示的方程組的解的集合稱為通解。

過對具體實例進行分析,可以看到求基礎解系的方法還是在于用初等行變換化階梯形。

非齊次線性方程組的解的結構,是由對應的齊次通解加上一個特解。

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