2024考研數(shù)學：公式總結之兩角和差篇

對于2020考研數(shù)學備考的學生來說，公式部分的內(nèi)容我們要著重掌握，因為大多數(shù)題型都會涉及到。為此，小編整理了2020考研數(shù)學：公式總結之兩角和差篇的相關內(nèi)容，希望對大家有所幫助。

三、兩角和差公式：

1、兩角和與差的三角函數(shù)公式：

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

2、二倍角公式：

二倍角的正弦、余弦和正切公式(升冪縮角公式)

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]

3、半角公式：

半角的正弦、余弦和正切公式(降冪擴角公式)

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)

4、萬能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

萬能公式推導：

附推導：sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*

(因為cos^2(α)+sin^2(α)=1)

再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))

然后用α/2代替α即可。

同理可推導余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。

5、三倍角公式：

三倍角的正弦、余弦和正切公式：

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]

三倍角公式推導：

附推導：

tan3α=sin3α/cos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα

=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)

=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)

=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))

=4cos^3(α)-3cosα

即

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

三倍角公式聯(lián)想記憶：

記憶方法：諧音、聯(lián)想

正弦三倍角：3元減4元3角(欠債了(被減成負數(shù))，所以要掙錢(音似正弦))

余弦三倍角：4元3角減3元(減完之后還有余)

Ps：注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

另外的記憶方法：

正弦三倍角：山無司令(諧音為三無四立)三指的是"3倍"sinα，無指的是減號，四指的是"4倍"，立指的是sinα立方

余弦三倍角：司令無山與上同理

6、和差化積公式

三角函數(shù)的和差化積公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

三角函數(shù)的積化和差公式：

sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化積公式推導：

附推導：

首先，我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb，sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以，sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理，若把兩式相減，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同樣的，我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb，cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以，把兩式相加，我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我們就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理，兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

這樣，我們就得到了積化和差的四個公式：

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

有了積化和差的四個公式以后，我們只需一個變形，就可以得到和差化積的四個公式。

我們把上述四個公式中的a+b設為x，a-b設為y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2

把a，b分別用x，y表示就可以得到和差化積的四個公式：

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)